Пусть точка М  движется по окружности радиуса A против часовой стрелки равномерно с постоянной угловой скоростью ω радианов в секунду.

Если в начальный момент времени (t = 0) эта точка занимала положение М₀, определяемое углом φ, то через t секунд она займет некоторое положение М, определяемое углом ωt + φ.

В то время как точка М движется по окружности, ее проекция Р на ось ординат совершает колебания вдоль диаметра CD, достигая то наивысшего положения С, то наинизшего положения D. Чтобы математически описать это колебание, выразим ординату точки Р через угол φ, угловую скорость ω и текущее время t. Отношение этой ординаты у к радиусу окружности А является синусом угла, который образует вектор ОМ с осью х. Но этот угол в момент времени t, как указано выше, равен ωt + φ. Поэтому       ^y/_A= sin (ωt + φ),  откуда

у = A sin (ωt + φ)                (1)

Формула  (1)   и  представляет собой закон колебания  проекции точки  М      на     ось ординат.   Колебания  такого  рода  получили  название гармонических   колебаний. Формула     гармонического    колебания у = A sin (ωt + φ)  определяет у как функцию  времени  t.  Максимальное    значение этой функции равно, очевидно, А, а минимальное (— А). Следовательно,  все   значения   этой   функции   заключены  между —А и A. Поэтому А  называется амплитудой колебания.

Переменный угол ωt + φ называется фазой колебания. Начальная фаза колебания φ всегда положительна и меньше 2π.

Время Т, в течение которого точка М сделает один полный оборот по окружности, называется периодом гармонического колебания. В течение этого периода проекция Р точки М пройдет дважды все свои возможные положения и возвратится в первоначальное положение. Исключение составят лишь предельные положения С и D , каждое из которых точка пройдет один раз.

Посмотрим, как выражается период гармонического колебания Т через амплитуду А, угловую скорость ω и начальную фазу φ.

За время Т точка М пройдет путь ωТ радианов. Но этот путь вместе с тем равен длине окружности, то есть 2π радианам. Поэтому ωТ = 2π, откуда

Т = ^2π/_ω.              (2)

Таким образом, период гармонического колебания обратно пропорционален угловой скорости. Он не зависит ни от амплитуды, ни от начальной фазы колебаний.

Период гармонического колебания (1) является периодом функции у = A sin (ωt + φ)  Действительно,

у = A sin [ω(t +T)+ φ]  = A sin [ω(t + ^2π/_ω) + φ] = A sin [ωt + φ + 2π]  =

= A sin (ωt + φ)

Это можно было бы понять, конечно, и без выполненных преобразований. Ведь в момент времени t + Т точка Р возвращается в то же самое положение, которое она занимала в момент времени t. А значения функции A sin (ωt + φ) представляют собой ординаты точки Р.

Величину, обратную периоду колебания, принято называть частотой колебания и обозначать буквой ν . (греческая буква, читается : ню ).Частота гармонического колебания (1) равна

ν = ¹/_T =^ω/_2π.                        (3)

Эта величина показывает, сколько колебаний совершает точка в течение одной секунды.

Угловая скорость со выражается через частоту ν и период колебания Т следующим образом (см. (3)):

ω = 2πν = ^2π/_T

Поэтому уравнение гармонического колебания (1) часто записывают в виде:

                у = A sin (2π νt + φ),

или

у = A sin (^2π/_T  •  t + φ)

Упражнения

1.  Для каждого из данных гармонических колебаний определить амплитуду A, период Т, частоту ν и начальную фазу φ:

а)  у = ¹/₂ sin (3t + ^π/₄ )         в) у = 3 cos 3t;

б)  у = 7 sin (2t + ^π/₆ )          г) у = 2sin (3πt +1).

2.   Какие числовые значения могут принимать амплитуда, частота и начальная фаза гармонического колебания?

Построить графики данных гармонических колебаний :

a).  у = 3 sin (2t + ^4π/₃ )            b). у = ¹/₂ sin (3t + ^6π/₅ ) 

3. Какое влияние на график гармонического колебания оказывают амплитуда и частота этого колебания?